Wireless Communications (Andrea Goldsmith)学习笔记。

Digital Modulation and Performance

本书第五、六章主要介绍数字调制及其性能和同步原理的部分内容。

• 数字调制的优势：传输速率高，纠错能力强，抗信道失真，高效的多址接入和更好的安全和隐私性。
• 选择数字调制的考虑因素：
  • 高传输速率
  • 高频带利用率（最小化带宽占用）
  • 高功率利用率（最小化发射功率）
  • 对信道失真的稳健性（最小化误比特率/误信率）
  • 低功耗，低成本
• 数字调制的分类：
  • linear modulation（线性调制）：调幅，调相
    • 有更好的频谱特性
    • 易受到衰落和干扰的影响
    • 需要昂贵功率利用率差的线性放大器
  • constant envelope modulation (nonlinear modulation，恒包络调制，非线性调制)：调频
  • trade-off of linear or nonlinear modulation
    • 线性调制：频带利用率更佳
    • 非线性调制：功率利用率更佳，抗信道失真的干扰更强
• 其它数字调制需要考虑的方面：
  • 星座大小（constellations）：星座越大，给定带宽传输速率越高，对噪声、衰落和硬件干扰性能变差。
  • 是否需要相干载波（coherent reference）：实现困难
• 数字调制的主要性能指标：
  • 错误率（可靠性指标）：误码率和误比特率（误信率）
  • 中断率：瞬时SNR低于门限的概率
• 无线信道传输过程中各种损耗带来的影响：
  • 频率选择性衰落带来ISI，ISI又会造成error floor
  • 多普勒频移会带来频谱扩展，频谱扩展会造成adjacent channel interference（邻信道干扰）。还会给差分编码造成不可避免的error floor

信号空间分析

数字调制与解调直观来说就是接收机将接收信号和所有可能出现的发射信号比较，选择最接近的作为检测结果，从而使得错误率最低。信号空间就是将信号embed到一个向量空间中，从而可以比较他们的接近程度。

• 符号说明：
  • 系统以$T$间隔，发射$K=\log_2M$ bits
  • 在时间间隔$[kT,(k+1)T)$内，$K$ bits长的发射消息序列$m_i=\{b_1,\cdots,b_K\}$
  • 数字域所有可能发射消息所构成的集合$\mathcal{M}$，$m_i\in\mathcal{M}(i=1,2,\cdots, M=2^K)$，即发送消息序列每一个码元可以取0或者1
  • 模拟域所有发射消息所构成的集合$\mathcal{S}$，$s_i(t)\in\mathcal{S}(i=1,2,\cdots, M=2^K)$

一段时间内发射的消息是模拟域发射消息的组合

$s(t)=\sum_ks_i(t-kT)$

接收信号为$r(t)=s(t)+n(t)$。在时间间隔$[kT,(k+1)T)$用接收信号$r(t)$作$s_i(t),m_i$的估计，最佳估计消息序列记作$\hat m$.

接收机的目标——错误率最小

$P_e=\sum_{i=1}^Mp(\hat m \ne m_i|\text{发射序列为}m_i)p(\text{发射序列为}m_i)=\frac{N_{error}}{N}$

信道的几何表示

• 将$M$个实信号构成的集合$\mathcal{S}=\{s_1(t), s_2(t),\cdots, s_M(t) \}$表示为$N(\le M)$个实正交基函数$\{\phi_1(t), \phi_2(t),\cdots,\phi_N(t) \}$的线性组合。

  $s_i(t)=\sum_{j=1}^Ms_{ij}\phi_{j}(t)$

  • the minimum number $N$ of basis functions needed to represent any signal $s_i(t)$ of duration $T$ and bandwidth $B$ is roughly $2BT$.
  • For linear passband modulation techniques, the basis set consists of the sine and cosine function with $\sqrt{\frac{2}{T}}$ factor.
  • The simplest pulse shape that satisfies the orthonormal properties is the rectangular pulse shape $g(t) =\sqrt{\frac{2}{T}}(0\le t<T)$.

• 信号的星座点与星座图

  • 信号的星座点（signal constellation point）：将$s_i(t)$的系数矩阵$\{s_{ij}\}$的每一行表示成向量$\mathbf{s}_i=(s_{i1},s_{i2},\cdots.s_{iN})\in\mathbb{R}^N$
  • 星座图（signal constellation）：所有星座点构成的集合$\{\mathbf{s}_1,\mathbf{s}_2 ,\cdots,\mathbf{s}_M\}$.
  • 信号$s_i(t)$和星座点$\mathbf{s}_i$是一一的，将信号用星座点表示称为信号空间表示（signal space representation）
  • 包含所有星座点的向量空间称为信号空间（signal space）

• 向量的长度与距离

  • 向量的长度（length）：

    $||\mathbf{s}_i||=\sqrt{\sum_{j=1}^Ns_{ij}^2}$

  • 向量之间的距离（distance）：

    $||\mathbf{s}_i-\mathbf{s}_k ||=\sqrt{\sum_{j=1}^N(s_{ij}-s_{kj})^2}=\sqrt{\int_0^T(s_{i}(t)-s_{k}(t))^2\mathrm{d}t}$

    第二个等号通过正交基底的正交性获得

充分统计量、判决域与接收机结构

• 使用正交基底，将接收信号$r(t)$转化为向量。

  • 使用最大似然接收机

  • 接收信号:

    $r(t)=\sum_{j=1}^N(s_{ij}+n_j)\phi_j(t)+n_r(t)=\sum_{j=1}^Nr_j\phi_j(t)+n_r(t)$

    $n_r(t)$是不在与向量空间正交的噪声分量。

• 充分统计量（sufficient statistic）：对$\mathbf{s}_i$进行估计时，给定$r(t)$的最佳检测不会用到$n_r(t)$，那么最佳估计$\hat m$只是$\mathbf{r}=(r_1,r_2,\cdots,r_N)$的函数，称$\mathbf{r}$是最佳检测$r(t)$的充分统计量。

  • 直观上可以看到$n_r(t)$在信号空间上的投影为0

  • 数学上可以证明发射信号与噪声是相互独立的，故$s_{ij}$与$n_r(t)$也是相互独立的。接收机设计准则

    $\max p(\hat m=m_i|r(t))\Leftrightarrow\max p(\text{发射星座点为}\mathbf{s}_i|r(t))$

    可以证明上式等于$p(\text{发射信号为}(s_{i1},s_{i2},\cdots,s_{iN})|(r_1,r_2,\cdots,r_N))$，即在检测发射信息时不需要$n_r(t)$，只需要用$\mathbf{r}$即可检测就可以使得错判概率最小。

• 由于$\mathbf{r}$是接收信号$r(t)$的充分统计量，$\mathbf{r}$对应于$r(t)$的接收向量。

• 判决域（decisions regions）——信号空间的子集

  $Z_i=\{\mathbf{r}:p(\text{发射星座点为}\mathbf{s}_i|\mathbf{r})>p(\text{发射星座点为}\mathbf{s}_j|\mathbf{r})\forall j\ne i\}$

  即在已知接收向量时，发射星座点为$\mathbf{s}_i$比其余任何星座点的可能都大，则称为发射星座点$\mathbf{s}_i$的判决域。

• 最大似然接收机

  有贝叶斯公式和等概率条件可以推出，要使错误率最低应满足

  $\arg\max_{\mathbf{s}_i}p(\mathbf{r}|\mathbf{s}_i)(i=1,\cdots, M)$

  最大化似然函数$L(\mathbf{s}_i)=p(\mathbf{r}|\mathbf{s}_i)$，应该在星座图中扎到与$\mathbf{r}$最近的星座点$\mathbf{s}_i$。这个星座点由判决域决定：

  $Z_{i}=\left(\mathbf{r}:\left\|\mathbf{r}-\mathbf{s}_{i}\right\|<\left\|\mathbf{r}-\mathbf{s}_{j}\right\| \forall j=1, \ldots, M, j \neq i\right) \quad i=1, \ldots, M$

  • 非等概时，要对判决域进行修正

• 匹配滤波器是另一种接收机结构，两种接收机是等价的。
  

数字带通调制信号

带通调制原理

数字带通调制就是利用载波携带消息信号在信道中传输。调制的目的就是以更高速率传输的同时最下滑数据损失的概率。

• 已调信号的表示形式：

  $s(t)=\alpha(t) \cos \left[2 \pi\left(f_{c}+f(t)\right) t+\theta(t)+\phi_{0}\right]=\alpha(t) \cos \left(2 \pi f_{c} t+\phi(t)+\phi_{0}\right)$

  其中，$\alpha(t)$表示调幅项，$f(t)$表示调频项，$\theta(t)$表示调相项，而把调频调相合并也就是调角项$\phi(t)=2\pi f(t)+\theta(t)$，$\phi_0$是初相。

• 已调信号的正交表示和复包络表示

  $\begin{aligned} s(t)=&\alpha(t) \cos \phi(t) \cos \left(2 \pi f_{c} t\right)-\alpha(t) \sin \phi(t) \sin \left(2 \pi f_{c} t\right)\\=&s_{I}(t) \cos \left(2 \pi f_{c} t\right)-s_{Q}(t) \sin \left(2 \pi f_{c} t\right)\\ =&\Re\{u(t)e^{j2\pi f_ct} \} \end{aligned}$

  其中，$u(t)=s_I(t)+js_Q(t)$。这种表示方式使用正交检波比较方便。

线性调制——调幅/调相(Amplitude and Phase Modulation)

• AM/PM信号的信号空间表示

  $s(t)=s_{i1}\phi_1(t)+s_{i2}\phi_2(t)$

  其中，$\phi_1(t)=g(t)\cos(2\pi f_c t+\phi_0)$,$\phi_1(t)=-g(t)\sin(2\pi f_c t+\phi_0)$.

• AM/PM信号的复包络表示

  $s(t)=\Re\{x(t)e^{j\phi_0}e^{j2\pi f_c t} \}$

  其中，$x(t)=(s_{i1}+js_{i2})g(t)$，$\mathbf{s}_i=\{s_{i1},s_{i2}\}$被称为$\log_2 M$ bits对应的符号(symbol)，$T_s$被称为码长(symbol time)，比特率是

  $R=\frac{\log_2M}{T_s}(bps)$

• AM/PM的分类

  • M进制脉幅调制(Pulse Amplitude Modulation, MPAM): information encoded in amplitude only.
  • M进制相移键控(Phase Shift Keying, MPSK): information encoded in phase only.
  • 正交振幅调制(Quadrature Amplitude Modulation, MQAM): information encoded in both amplitude and phase.

• AM/PM调制与解调
  

  • 载波相位恢复（carrier phase recovery）→相干解调（coherent detection）
  • 码元同步（synchronization）

MPAM（脉幅调制）

• 发射信号

  $$

  $$

  • 距离$d$是能量的函数，星座图最小距离$d_{\min}=2d$

  • 第$i$个星座点对应的MPAM信号的能量

    $$

    $$

    $$

    $$

• 判决域

  $Z_{i}=\left\{\begin{array}{ll}\left(-\infty, A_{i}+d\right) & i=1 \\ {\left[A_{i}-d, A_{i}+d\right)} & 2 \leq i \leq M-1 \\ {\left[A_{i}-d, \infty\right)} & i=M\end{array}\right.$

  MPAM只有一个基函数$\phi_1(t)=g(t)\cos(2\pi f_ct+\phi_0)$
  

• MPAM的相干解调器
  

MPSK（相移键控）

• 发射信号(圆上等间隔分布)

  $\begin{aligned} s_{i}(t) &=\Re\left\{A g(t) e^{j 2 \pi(i-1) / M} e^{j 2 \pi f_{c} t}\right\}, \quad 0 \leq t \leq T_{s} \\ &=A g(t) \cos \left[2 \pi f_{c} t+\frac{2 \pi(i-1)}{M}\right] \\ &=A g(t) \cos \left[\frac{2 \pi(i-1)}{M}\right] \cos 2 \pi f_{c} t-A g(t) \sin \left[\frac{2 \pi(i-1)}{M}\right] \sin 2 \pi f_{c} t . \end{aligned}$

  • 星座点由$s_{i 1}=A \cos \left[\frac{2 \pi(i-1)}{M}\right]$ , $s_{i 2}=A \sin \left[\frac{2 \pi(i-1)}{M}\right]$给定，在圆上等间隔分布
  • 相移$\theta_i=\frac{2\pi(i-1)}{M}$
  • 星座图最小距离$d_{\min}=2A\sin\left(\frac{\pi}{M}\right)$
  • 第$i$个星座点对应的MPAM信号的能量，且平均分布

    $$

    $$

• 判决域

  $Z_i=\left\{re^{j\theta}:\frac{2\pi(i-0.5)}{M}\le\theta<\frac{2\pi(i+0.5)}{M} \right\}$

  MPSK含有同相分量和正交分量

• 2PSK的相干解调

  2PSK只有一个基函数$\phi_{1}(t)=g(t) \cos \left(2 \pi f_{c} t\right)$

MQAM（正交振幅调制）

MQAM有两个自由度，幅度和相位均携带信息，故有更高的频谱利用率。

• 发射信号（下述对正方形星座分析）

  $s_{i}(t)=\Re\left\{A_{i} e^{j \theta_{i}} g(t) e^{j 2 \pi f_{c} t}\right\}=A_{i} \cos \left(\theta_{i}\right) g(t) \cos \left(2 \pi f_{c} t\right)-A_{i} \sin \left(\theta_{i}\right) g(t) \sin \left(2 \pi f_{c} t\right), \quad 0 \leq t \leq T_{s}$

  • 任意两个星座点的距离$d_{i j}=\left\|\mathbf{s}_{i}-\mathbf{s}_{j}\right\|=\sqrt{\left(s_{i 1}-s_{j 1}\right)^{2}+\left(s_{i 2}-s_{j 2}\right)^{2}}$，星座图最小距离$d_{\min}=2d$
  • 星座点由$s_{i 1},s_{i2}$在$(2i-1-L)d,i=1,2,\cdots,L=2^l$上取值

• 星座图——正方形星座
  

  • 有$M=L^2=2^{2l}$个星座点
  • $2l$ bits/symbol
  • 每维度多传1 bit，即每symbol多传2 bits，需要增加6 dB能量来保持星座图最小距离不变

• 判决域
  

调幅/调相时其它方法

1. 差分调制（Differential Modulation）
   • 差分调制属于更普遍的带记忆的调制类别，在时间$[kT_s, (k + 1)T_s)$上传输的符号取决于与当前要传输的信息和在先前符号时间上的比特。
   • 差分调制的基本原理是将先前的符号作为当前符号的相位参考，从而避免了在接收端需要相干相位参考。
   • 差分相干解调
     
   • 差分编码对随机相位漂移不敏感，单对系统性的多普勒频移敏感，多普勒频移会造成error floor。
2. 星座成形（Constellation Shaping）
   • if a complex channel code is already being used and little further improvement can be obtained by a more complex code, constellation shaping may obtain around 1 dB of additional gain.
3. 正交偏移（Quadrature Offset）
   • 为防止信号倒相引起180度相移，将正交分量$g(t)$偏移半个码长，可消除突变，其目的是降低非线性失真的灵敏度
     
   • Phase modulation with phase offset is usually abbreviated as O-MPSK, 例如$\frac{\pi}{4}$-QPSK

调频

• FM信号的空间表示

  $s_i(t)=\sum_js_{ij}\phi_j(t)=A\phi_i(t)$

  其中，$s_{ij}=A\delta(i-j)$，$\phi_j(t)=\cos(2\pi f_jt +\phi_j)$。当$\phi_i=\phi_j$，则正交基函数的最小载波频率间隔为$\frac{1}{2T_s}$。

• 调频信号的特点

  • 恒包络，对幅度失真不敏感
  • 频谱利用率低

• FM信号的调制与解调
  

  • 解调器要求第$j$个载波相位域发射机第$j$个载波相位一致
  • 载波相位不一致$\phi_i\ne \phi_j$，或造成发射信号不连续，增大信号带宽

FSK（频移键控）&MSK（最小频移键控）

• FSK（Frequency Shift Keying）发射信号

  $s_{i}(t)=A \cos \left[2 \pi f_{c} t+2 \pi \alpha_{i} \Delta f_{c} t+\phi_{i}\right], \quad 0 \leq t<T_{s}$

  • 频移项系数$\alpha_i=({2i-1-M}).i=1,2,\cdots,M=2^K$，圆上等间隔分布
  • 基函数$\phi_{i}(t)=\sqrt{\frac 2{T_{s}}} \cos \left[2 \pi f_{c} t+2 \pi \alpha_{i} \Delta f_{c} t+\phi_{i}\right]$
  • 最小频率间隔$2\Delta f_c$

• 2FSK：只有两种频率变化

• MSK（Minimum Shift Keying）：对于2FSK，当$\phi_1=\phi_2$且频率间隔为$2\Delta f=\frac{1}{2T_s}$，此时有最小带宽

CPFSK（连续相位频移键控）

• 用数字基带信号调制单音载波，构成Continuous-Phase FSK（CPFSK）信号

  $s_{i}(t)=A \cos \left[2 \pi f_{c} t+2 \pi \beta \int_{-\infty}^{t} u(\tau) d \tau\right]=A \cos \left[2 \pi f_{c} t+\theta(t)\right]$

  • $u(t)$时MPAM信号

• 卡森带宽（Carson）：$B_s\approx M\Delta f_c+B_g$，$B_g$是MPAM脉冲成形信号的带宽

• The spectral efficiency penalty of CPFSK increases with data rate.

• Coherent detection of CPFSK can be done symbol-by-symbol or over a sequence of symbols.

FSK的非相干检波

当第$i$个分支（branch）的能量是所有分支中最高的，那么接收机就会输出信息$m_i$。

脉冲成形、同步与载波恢复

脉冲成形

• Nyquist准则：

  • 时域：$p\left(k T_{s}\right)=\left\{\begin{array}{ll} p_{0}=p(0) & k=0 \\ 0 & k \neq 0 \end{array}\right.$
  • 频域：$\sum_{l=-\infty}^{\infty}P(f+\frac{l}{T_s})=p_0T_s$

• 几种脉冲：

  • Rectangular pulses(矩形脉冲)

    $g(t)=\sqrt{\frac 2{T_s}}$

    等效三角脉冲：

    $p(t)=\left\{\begin{array}{ll}2+2 t / T_{s} & -T_{s} \leq t<0 \\ 2-2 t / T_{s} & 0 \leq t<T_{s} \\ 0 & \text { else }\end{array}\right.$

    旁瓣较高

  • Cosine pulses(余弦脉冲)

    $p(t)=\sin\frac{\pi t}{T_s}$

    旁瓣比矩形脉冲低10 dB

  • Raised Cosine Pulses（升余弦脉冲）

    • 频域

      $P(f)=\left\{\begin{array}{ll}T_{s} & 0 \leq|f| \leq(1-\beta) / 2 T_{s} \\ \frac{T_{s}}{2}\left[1-\sin \frac{\pi T_{s}}{\beta}\left(f-\frac{1}{2 T_{s}}\right)\right] & (1-\beta) / 2 T_{s} \leq|f| \leq(1+\beta) / 2 T_{s}\end{array}\right.$

    • 时域

      $p(t)=\frac{\sin \pi t / T_s}{\pi t / T_s} \frac{\cos \beta \pi t / T_s}{1-4 \beta^2 t^2 / T_s^2}$

    • 升余弦序列拖尾衰减很快，ISI小

码元同步、载波同步

• 码元同步（Symbol Synchronization）：需要通过码元同步来划定与特定符号相关的接收信号。

• 载波同步（Carrier Phase Recovery）：得到相位信息。

• 接收机形式
  

  • 接收信号

    $r(t)=\Re\left\{\left(x(t-\tau) e^{j \phi}+z(t)\right) e^{j 2 \pi f_{c} t}\right\}$

    码元同步需要估计$\tau$，载波同步需要估计$\phi$，表示成向量$\theta=(\phi,\tau)$，则

    $r(t)=s(t;\theta)+n(t)$

  • 最大似然估计（the maximum-likelhood criterion, ML）

    $\max p(\mathbf{r} \mid \theta)=\left(\frac{1}{\sqrt{\pi N_{0}} \sigma}\right)^{K} \exp \left[-\sum_{k=1}^{K} \frac{\left(r_{k}-s_{k}(\theta)\right)^{2}}{N_{0}}\right]$

    似然函数（likelihood function）

    $\Lambda(\theta)=\exp \left[-\frac{1}{N_{0}} \int_{T_{0}}[r(t)-s(t ; \theta)]^{2}\right] d t$

• 最大似然相位估计（Maximum Likelihood Phase Estimation）
  假设时钟已知，可得

  $\hat{\phi}=-\arctan \left[\frac{\int_{T_{0}} r(t) \sin \left(2 \pi f_{c} t\right) d t}{\int_{T_{0}} r(t) \cos \left(2 \pi f_{c} t\right) d t}\right]$

  • 实现方法——锁相环（phase lock loop）
    

• 最大似然定时估计（Maximum Likelihood Timing Estimation）
  假设载波已知，可得

  $\sum_{k} s_{I}(k) \frac{\partial}{\partial \tau} z_{k}(\tau)=0$

  • decision-directed estimation(非盲估计)： voltage-controlled clock (VCC)
    
  • non decision-directed timing estimation(盲估计)：early-late gate synchronizer（超前滞后门）
    

数字带通传输系统的性能指标

信噪比

• 接收信噪比（received SNR）

  $\mathrm{SNR}=\frac{P_r}{N_0B}$

  • 接收功率$P_r$取决于发射功率$P_t$，路径损耗（path loss），阴影衰落（shadowing），多径衰落（multipath）。
  • 噪声功率取决于$s(t)$的带宽和噪声频谱特性。$s(t)$基带的带宽为$B$，传入带通传输系统时候的带宽$2B$，白噪声双边噪声功率谱密度$\frac{N_0}{2}$，噪声功率$N=\frac{N_0}{2}2B=N_0B$

• 接收信-干-噪比（received signal-to-interference-plus-noise power ratio, SINR）

  $\mathrm{SINR}=\frac{P_r}{N_0+P_I}$

• 信噪比的能量表示

  $\mathrm{SNR}=\frac{P_r}{N_0B}=\frac{E_s}{N_0BT_s}=\frac{E_b}{N_0BT_b}$

  其中，$T_s$是码长（码元间隔），$T_b$是比特间隔

• 符号信噪比（SNR per symbol）与比特信噪比（SNR per bit）

  • 符号信噪比

    $\gamma_s=\frac{E_s}{N_0}$

  • 比特信噪比

    $\gamma_b=\frac{E_b}{N_0}$

  • 对于任意成形脉冲满足$T_s=\frac{k}{B}$，有

    $k\times \mathrm{SNR}=\frac{E_s}{N_0}=\gamma_s$

误码率和Q函数

• 误码率：

  $\begin{aligned} P_e=&\sum_{i=1}^Mp(\mathbf{r}\notin Z_i|\text{发射序列为}m_i)p(\text{发射序列为}m_i)\\ =&1-\frac 1M\sum_{i=1}^M\int_{Z_i-\mathbf{s}_i}p(\mathbf{n})d\mathbf{n} \end{aligned}$

  • 形象地理解错误率就是星座点$\mathbf{s}_i$加上噪声后变成$\mathbf{s}_i+\mathbf{n}$后不在判决域$Z_i$中概率。
  • 错误率积分具有平移不变性和旋转不变性

• 利用联合界（Union bound）描述错误概率：

  • 用联合界表示发射序列为$m_i$的错误概率

    $P_{e}\left( \text {发射序列为 }m_{i}\right)=p\left(\bigcup_{k=1 \atop k \neq i}^{M} A_{i k}\right) \leq \sum_{k=1 \atop k \neq i}^{M} p\left(A_{i k}\right)$

    其中，$A_{ik}$表示发射星座点$\mathbf{s}_i$时，$\left\|\mathbf{r}-\mathbf{s}_{k}\right\|<\left\|\mathbf{r}-\mathbf{s}_{i}\right\|$

  • 经过化简可以发现错判概率等于噪声向量$\mathbf{n}$离矢量$\mathbf{s}_i-\mathbf{s}_k$比离原点跟近的概率

• 误码率的界：

  • 联合界估计的界：

    $P_{e}=\sum_{i=1}^{M} p\left(m_{i}\right) P_{e}(\text {发射序列为 }m_{i}) \leq \frac{1}{M} \sum_{i=1}^{M} \sum_{k=1 \atop k \neq i}^{M} Q\left(\frac{d_{i k}}{\sqrt{2 N_{0}}}\right)$

    其中，Q函数为

    $Q(z)=\int_z^\infty \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}\mathrm{d}x=\frac 12\mathrm{erfc}\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)$

  • 利用最小距离估计的界：

    $P_{e} \leq(M-1) Q\left(\frac{d_{\min }}{\sqrt{2 N_{0}}}\right)= \frac{M-1}{\sqrt{\pi}} \exp \left[\frac{-d_{\min }^{2}}{4 N_{0}}\right]$

    其中，最小距离（minimum distance）为$d_{\min}=\min_{i,k}d_{ik}=\min_{i,k}||\mathbf{s}_i-\mathbf{s}_k||$

• 最近邻近似(the nearest neighbor approximation)

  $P_{e} \approx M_{d_{\min }} Q\left(\frac{d_{\min }}{\sqrt{2 N_{0}}}\right)$

  其中，$M_{d_{\min}}$是相邻为$d_{\min}$的星座点的个数。

  • 最近邻近似小于最小距离估计的界，略小于联合界估计的界

  • 在高信噪比情况下，最近邻近似解接近误码率的准确值

  • 最近邻近似仅取决于最小距离$d_{\min}$和相邻星座点个数$M_{d_{\min}}$

  • 对于$M=2$的二元调制，误信率为

    $P_b=P_s=Q\left(\frac{d_{\min}}{\sqrt{2N_0}}\right)$

• 误码率与误信率

  • 误码率（误符号率，symbol error probability，$P_e,P_s$）
  • 误信率（误比特率，bit error probability，$P_b$）
  • 对于Gray encoding，高信噪比时可以认为一码元错误对应一比特错误，则

  $P_b\approx\frac{P_s}{\log_2M}$

• Q函数表现形式

  • 形式一：

    $Q(z)=\int_z^\infty \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}\mathrm{d}x=\frac 12\mathrm{erfc}\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)$

  • 形式二：

    $Q(z)=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi / 2} \exp \left[\frac{-z^{2}}{2 \sin ^{2} \phi}\right] d \phi \quad (z>0)$

  • 注意到形式一积分区间为无穷，函数变量$z$出现在积分限上，而形式二的积分区间是和$z$无关的有限区间。

AWGN信道中数字带通传输系统的性能

MPSK的错误率

• 2PSK的误比特率（注意对于$M=2$的调制，最近邻近似是精确答案）

  $P_b=Q\left(\frac{d_{\min}}{\sqrt{2N_0}}\right)=Q\left(\frac{2\sqrt{E_b}}{\sqrt{2N_0}}\right)=Q\left(\sqrt{2\gamma_b}\right)$

• QPSK的误码率与误比特率

  • QPSK的同相和正交分量都是2PSK

  • 误码率

    $P_s=1-\left[1-Q\left(\sqrt{2\gamma_b}\right)\right]^2=1-\left[1-Q\left(\sqrt{\gamma_s}\right)\right]^2$

  • 误码率的最近邻近似

    $P_s=2Q\left(\frac{A^2}{N_0}\right)=2Q\left(\sqrt{\frac{\gamma_s}{2}}\right)$

    根据格雷码映射，误比特率为

    $P_b\approx \frac{P_s}{2}=Q\left(\sqrt{\frac{\gamma_s}{2}}\right)$

• MPSK的误码率

  • 误码率的最近邻近似——近邻$d_{\min}=2A\sin\left(\frac{\pi}{M}\right)$

    $P_s\approx2Q\left(\frac{2A\sin\left(\frac{\pi}{M}\right)}{\sqrt{2N_0}}\right)=2Q\left(\sqrt{2\gamma_s}\sin\left(\frac{\pi}{M}\right)\right)$

  • 通过同相和正交支路噪声的联合分布得到$\gamma,\theta$的联合分布，考虑误码率与$\gamma$无关，且具有对称性，得到积分:

    $P_{s}=1-\int_{-\pi / M}^{\pi / M} \frac{1}{\pi} e^{-2 \gamma_{s} \sin ^{2}(\theta)} \int_{0}^{\infty} z \exp \left[-\left(z-\sqrt{2 \gamma_{s}} \cos (\theta)\right)^{2}\right] d z$

    但$M>4$时无闭式解

• MPSK对于相位误差敏感，但相位误差很大是会带来error floor

MPAM和MQAM的错误率

• MPAM的误码率

  $P_{s}=\frac{2(M-1)}{M} Q\left(\sqrt{\frac{6 \bar{\gamma}_{s}}{M^{2}-1}}\right)$

• MQAM的误码率

  • $M=L^2$的正方形星座，同相和正交支路都是MPAM，有MPAM推出的误码率

    $P_{s}=1-\left(1-\frac{2(\sqrt{M}-1)}{\sqrt{M}} Q\left(\sqrt{\frac{3 \bar{\gamma}_{s}}{M-1}}\right)\right)^{2}P$

  • 最近邻近似（正方形星座）

    • 英文原版——用两支路MPAM来近似（偏小）

      $P_s=\frac{2(\sqrt{M}-1)}{\sqrt{M}} Q\left(\sqrt{\frac{3 \bar{\gamma}_{s}}{M-1}}\right)$

    • 中文翻译版——假设内点外点都有4个距离为$2d$的近邻(偏大)

      $P_s=4 Q\left(\sqrt{\frac{3 \bar{\gamma}_{s}}{M-1}}\right)$

  • 最近邻近似（非正方形星座）

    $P_{s} \approx M_{d_{\min }} Q\left(\frac{d_{\min }}{\sqrt{2 N_{0}}}\right)$

• For the same energy per symbol or bit, MQAM makes more efficient use of energy and thus has better performance.

• MQAM解调需要对幅度和相位两方面进行估计

  • 相位估计与MPSK类似
  • 幅度估计可以使用AGC（自动增益控制）

MFSK和CPFSK的错误率

• 2FSK的误比特率：

  $P_b=P_s=Q\left(\frac{A}{\sqrt{N_0}}\right)=Q\left(\sqrt{\gamma_b}\right)$

• MFSK的误码率：

  $P_{s}=\sum_{m=1}^{M}(-1)^{m+1}\mathbf{C}_{M-1}^{m} \frac{1}{m+1} \exp \left[\frac{-m \gamma_{s}}{m+1}\right]$

• CPFSK的错误率取决于检波器是相干的还是非相干的，也取决于它是使用逐码元检测还是序列估计。

相干解调的错误率近似

• 误码率的近似

  $P_s(\gamma_s)\approx\alpha_MQ\left(\sqrt{\beta_M\gamma_s}\right)$

  对于最近邻近似，$\alpha_M=M_{d_{\min}}$，$\beta_M$反映$d_{\min}$和平均码元能量有关。

• 误比特率的近似

  $P_b(\gamma_b)=\frac{\alpha_M}{\log_2M}Q\left(\sqrt{\frac{\log_2M}{\beta_M}\gamma_b}\right)$

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text { Modulation } & P_{s}\left(\gamma_{s}\right) & P_{b}\left(\gamma_{b}\right) \\ \hline \text { 2FSK: } & & P_{b}=Q\left(\sqrt{\gamma_{b}}\right) \\ \hline \text { 2PSK: } & & P_{b}=Q\left(\sqrt{2 \gamma_{b}}\right) \\ \hline \text { QPSK,4QAM: } & P_{s} \approx 2 Q\left(\sqrt{\gamma_{s}}\right) & P_{b} \approx Q\left(\sqrt{2 \gamma_{b}}\right) \\ \hline \text { MPAM: } & P_{s} \approx \frac{2(M-1)}{M} Q\left(\sqrt{\frac{6 \bar{\gamma}_{s}}{M^{2}-1}}\right) & P_{b} \approx \frac{2(M-1)}{M \log _{2} M} Q\left(\sqrt{\frac{6 \bar{\gamma}_{b} \log _{2} M}{M^{2}-1}}\right) \\ \hline \text { MPSK: } & P_{s} \approx 2 Q\left(\sqrt{2 \gamma_{s}} \sin \left(\frac {\pi}{M}\right)\right) & P_{b} \approx \frac{2}{\log _{2} M} Q\left(\sqrt{2 \gamma_{b} \log _{2} M} \sin \left(\frac {\pi}{M}\right)\right) \\ \hline \text { Rectangular MQAM: } & P_{s} \approx \frac{4(\sqrt{M}-1)}{\sqrt{M}} Q\left(\sqrt{\frac{3 \bar{\gamma}_{s}}{M-1}}\right) & P_{b} \approx \frac{4(\sqrt{M}-1)}{\sqrt{M} \log _{2} M} Q\left(\sqrt{\frac{3 \bar{\gamma}_{b} \log _{2} M}{(M-1)}}\right) \\ \hline \text { Nonrectangular MQAM: } & P_{s} \approx 4 Q\left(\sqrt{\frac{3 \bar{\gamma}_{s}}{M-1}}\right) & P_{b} \approx \frac{4}{\log _{2} M} Q\left(\sqrt{\frac{3 \bar{\gamma}_{b} \log _{2} M}{(M-1)}}\right) \\ \hline \end{array}$

中文版在矩形MQAM中有一些区别，没有$\frac{4(\sqrt{M}-1)}{\sqrt{M}}$项。具体原因见上

差分译码的错误率

• 差分解调利用相位比较器求得相位，进行抽样判决。

• Performance of differential modulation that is roughly 3 dB worse than that of coherent modulation.

• DPSK的误比特率：

  $P_b=\frac 12 e^{-\gamma_b}$

• DQPSK的误比特率：

  $P_{b} \approx \int_{b}^{\infty} x \exp \left(\frac{-\left(a^{2}+x^{2}\right)}{2}\right) \mathrm{I}_{0}(a x) d x-\frac{1}{2} \exp \left(\frac{-\left(a^{2}+b^{2}\right)}{2}\right) \mathrm{I}_{0}(a b)$

  其中， $a \approx 0.765 \sqrt{\gamma_{b}}$ ， $b \approx 1.85 \sqrt{\gamma_{b}}$, $I_0(x)$是修正的零阶第一类贝塞尔函数

衰落信道中数字带通传输系统的性能

性能指标的选取取决于衰落信道变换快慢：

• 中断率$P_{out}$：信道衰落很慢($T_c\gg T_s$)
• 平均错误率$\bar P_s$：衰落的相干时间和码长可比拟（$T_c\approx T_s$）.码元间隔内的衰落近似不变
• 中断率和平均错误率的结合：信道衰落快慢结合，例如慢变对数正态分布的shadowing和快变Rayleigh衰落。
• 信道衰落非常快（$T_c\ll T_s$），近似AWGN信道。

（慢变）中断率（Outage Probability）

• 中断率（Outage Probability）的定义

  $P_{out}=p(\gamma<\gamma_0)=\int_0^{\gamma_0}p_{\gamma_s}(\gamma)\ \mathrm{d}\gamma$

  其中，$\gamma_0$是可以接受的最小信噪比。

• 瑞利信道的中断率

  • 中断率

    $P_{out}=\int_0^{\gamma_0}\frac{1}{\bar \gamma_s}e^{-\frac{\gamma_s}{\bar \gamma_s}}d\gamma_s=1-e^{-\frac{\gamma_0}{\bar\gamma_s}}$

  • 对应所需的平均信噪比

    $\bar \gamma_s=\frac{\gamma_0}{-\ln(1-P_{out})}$

  • dB fade margin（分贝衰落余量）：

    $F_d=-\log[-\ln(1-P_{out})]$

（可比拟）平均误码率（Average Probability of Error）

• 平均误码率：根据衰落的分布对AWGN信道的误码率积分。

  $\bar P_s=\int_0^\infty P_s(\gamma)p_{\gamma_s}(\gamma)\mathrm{d}\gamma$

  • $p_{\gamma_s}(\gamma)$的求解——变量代换

    $p_{\gamma_s}(\gamma)d\gamma=p(r)dr$

  • 瑞利衰落的分布

    $p_{\gamma_s}(\gamma)=\frac{1}{\bar{\gamma_s}}\exp\left(-\frac{\gamma}{\bar \gamma_s}\right)$

    其中，$\bar \gamma_s=\frac{\sigma^2T}{\sigma_n^2}$

• 瑞利信道中二元调制的平均误码率

  • 2PSK

    $\bar{P}_{b}=\frac{1}{2}\left[1-\sqrt{\frac{\bar{\gamma}_{b}}{1+\bar{\gamma}_{b}}}\right] \approx \frac{1}{4 \bar{\gamma}_{b}}$

  • 2FSK

    $\bar{P}_{b}=\frac{1}{2}\left[1-\sqrt{\frac{\bar{\gamma}_{b}}{2+\bar{\gamma}_{b}}}\right] \approx \frac{1}{4 \bar{\gamma}_{b}}$

  • 2DPSK

    $\bar{P}_{b}=\frac{1}{2\left(1+\bar{\gamma}_{b}\right)} \approx \frac{1}{2 \bar{\gamma}_{b}}$

    约等号仅当$\bar\gamma_b$较大时取。

  • 通用近似式$P_s(\gamma_s)\approx\alpha_MQ\left(\sqrt{\beta_M\gamma_s}\right)$

    $\bar{P}_{s} \approx \int_{0}^{\infty} \alpha_{M} Q\left(\sqrt{\beta_{M} \gamma}\right) \cdot \frac{1}{\bar{\gamma}_{s}} e^{-\gamma / \bar{\gamma}_{s}} d \gamma_{s}=\frac{\alpha_{m}}{2}\left[1-\sqrt{\frac{0.5 \beta_{M} \bar{\gamma}_{s}}{1+0.5 \beta_{M} \bar{\gamma}_{s}}}\right] \approx \frac{\alpha_{M}}{2 \beta_{M} \bar{\gamma}_{s}}$

• AWGN信道与衰落信道中调制方式的比较

  • 在AWGN信道中，误比特率随着$\gamma_b$的增加呈指数级下降。在衰落信道中，所有调制类型的误比特率随着$\gamma_b$的增加而线性下降。同样误码率条件下，衰落信道中需要更高的信噪比。
  • 瑞利衰落是最差的衰落情况。Nakagami fading随$m$的增大，衰落减小，趋于AWGN。

• Moment Generating Function（矩函数产生函数，矩母函数）

  $\mathcal{M}_{\gamma}(s)=\int_{0}^{\infty} p_{\gamma}(\gamma) e^{s \gamma} d \gamma$

  • 求矩函数：

    $E[\gamma^n]=\frac{\partial^n}{\partial s^n}[\mathcal{M}_{\gamma_s}(s)]_{s=0}$

  • 常见信道的Moment Generating Function

    • Rayleigh:

      $\mathcal{M}_{\gamma_{s}}(s)=\left(1-s \bar{\gamma}_{s}\right)^{-1}$

    • Ricean with factor $K$ :

      $\mathcal{M}_{\gamma_{s}}(s)=\frac{1+K}{1+K-s \bar{\gamma}_{s}} \exp \left[\frac{K s \bar{\gamma}_{s}}{1+K-s \bar{\gamma}_{s}}\right]$

    • Nakagami- $m$ :

      $\mathcal{M}_{\gamma_{s}}(s)=\left(1-\frac{s \bar{\gamma}_{s}}{m}\right)^{-m}$

  其实这里的矩母函数类似于《随机信号分析》中的特征函数，其实在第七章分集中也谈到了用$j\lambda$来替代$s$可以表示一些复数。

  • 特征函数

    $\varphi_x(\lambda,t )=\int_{-\infty}^{\infty}p(x,t)e^{j\lambda x}\mathrm{d}x$

  • 用特征函数求各阶矩

    $E[X^n(t)]=(-j)^n\left.\frac{\partial^n}{\partial \lambda^n}\varphi_x(\lambda,t)\right|_{\lambda=0}$

• 用Moment Generating Function求平均误码率

  • 相关解调误码率的近似($\alpha=\alpha_M,g=\frac{\beta_M}{2}$，用Q函数形式二)

    $\begin{aligned} P_s(\gamma_s)\approx&\alpha Q\left(\sqrt{2g\gamma_s}\right)\\ =&\frac{\alpha}{\pi}\int_0^{\frac \pi2}\exp\left(\frac{-g\gamma}{\sin^2\phi}\right)\mathrm{d}\phi \end{aligned}$

  • 衰落信道的平均误码率

    $\bar P_s=\frac{\alpha}{\pi} \int_{0}^{\frac \pi 2} \mathcal{M}_{\gamma_{s}}\left(\frac{-g}{\sin ^{2} \phi}\right) d \phi$

（快慢结合）中断率和平均误码率结合

• Let $\bar{\bar {\gamma_s}}$ denote the average SNR per symbol for a fixed path loss with averaging over fast fading and shadowing.
• Let $\bar \gamma_s$ denote the (random) SNR per symbol for a fixed path loss and random shadowing but averaged overf ast fading. Its average value is $\bar{\bar {\gamma_s}}$.
• Let $\gamma_s$ denote the random SNR due to fixed path loss, shadowing, and multipath.

$\bar{P}_{s}=\int_{0}^{\infty} P_{s}\left(\gamma_{s}\right) p\left(\gamma_{s} \mid \bar{\gamma}_{s}\right) d \gamma_{s}$

无线信道传输过程中各种损耗带来的影响

多普勒扩展

多普勒频移扩展会使得差分编码在解调时出现不可避免地error floor。码元之间的相位相关性以及因此而产生的性能下降是多普勒频率$f_D=\frac{v}{\lambda}$和码长$T_s$的函数。

• 2DPSK的error floor

  $\bar{P}_{\text {floor }}=\frac{\left(1-\rho_{C}\right) e^{-K}}{2}$

• DQPSK的error floor

  $\bar{P}_{\text {floor }}=\frac{1}{2}\left[1-\sqrt{\frac{\left(\rho_{C} / \sqrt{2}\right)^{2}}{1-\left(\rho_{C} / \sqrt{2}\right)^{2}}}\right] \exp \left[-\frac{(2-\sqrt{2})(K / 2)}{1-\rho_{C} / \sqrt{2}}\right]$

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text { Type } & \text { Doppler Power Spectrum } S_{C}(f) & \rho_{C}=A_{C}(T) / A_{C}(0) \\ \hline \text { Rectangular } & \frac{S_{0}}{2 B_{D}},|f|<B_{D} & \operatorname{sinc}\left(2 B_{D} T\right) \\ \hline \text { Gaussian } & \frac{S_{0}}{\sqrt{\pi} B_{D}} e^{-f^{2} / B_{D}^{2}} & e^{-\left(\pi B_{D} T\right)^{2}} \\ \hline \text { Uniform Scattering } & \frac{S_{0}}{\pi \sqrt{B_{D}^{2}-f^{2}}},|f|<B_{D} & J_{0}\left(2 \pi B_{D} T\right) \\ \hline \text { 1st Order Butterworth } & \frac{S_{0} B_{D}}{\pi\left(f^{2}+B_{D}^{2}\right)} & e^{-2 \pi B_{D} T} \\ \hline \end{array}$