电磁场与电磁波公式整理

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3. 勘误：电阻的公式是 $R=\frac{l}{\sigma S}$

场论与电磁模型

1. 散度定理：$\int_V\nabla\cdot\boldsymbol{A}\, \mathrm{d}v=\oint_s \boldsymbol{A}\, \mathrm{d}\boldsymbol{s}$

2. 斯托克斯定理：$\int_{S} \nabla \times \boldsymbol{A} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{s}=\oint_{C} \boldsymbol{A} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l}$

3. 矢量恒等式：$\nabla\cdot(\boldsymbol{E}\times \boldsymbol{H})=\boldsymbol{H}\cdot (\nabla\times \boldsymbol{E})-\boldsymbol{E}\cdot(\nabla\times \boldsymbol{H})$

4. 球坐标

   • 哈密尔顿算子：$\nabla=\hat{\boldsymbol{r}} \frac{\partial}{\partial r}+\hat{\boldsymbol{\theta}} \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial \theta}+\hat{\boldsymbol{\phi}} \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \phi}$

   • 梯度：$\nabla u=\hat{\boldsymbol{r}}\frac{\partial u}{\partial r}+\hat{\boldsymbol{\theta}}\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \theta}+\hat{\boldsymbol{\phi}}\frac{1}{r\sin \theta}\frac{\partial u}{\partial \phi}$

   • 散度：$\nabla\cdot \boldsymbol{A} =\frac{1}{r^2}\frac{\partial(r^2 A_r)}{\partial r}+\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial(\sin \theta A_\theta)}{\partial \theta}+\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial(A_\phi)}{\partial \phi}$

   • 旋度：$\nabla\times\boldsymbol{A}=\frac{1}{r^{2} \sin \theta}\left|\begin{array}{ccc}\hat{\boldsymbol{r}} & r \hat{\boldsymbol{\theta}} & r \sin \theta \hat{\boldsymbol{\phi}} \\ \frac{\partial}{\partial r} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial \phi} \\ A_{r} & r A_{\theta} & r \sin \theta A_{\phi}\end{array}\right|$

   • 拉普拉斯算子：$\nabla^{2} u=\frac{1}{r^{2} \sin \theta}\left[\sin \theta \frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2} \frac{\partial u}{\partial r}\right)+\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin \theta \frac{\partial u}{\partial \theta}\right)+\frac{1}{r^{2} \sin \theta} \frac{\partial^{2} u}{\partial \phi^{2}}\right]$

5. 圆柱坐标

   • 哈密尔顿算子：$\nabla=\hat{\boldsymbol{\rho}} \frac{\partial}{\partial \rho}+\hat{\boldsymbol{\phi}} \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \phi}+\hat{\boldsymbol{z}} \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial}{\partial z}$

   • 梯度：$\nabla u=\hat{\boldsymbol{\rho}} \frac{\partial u}{\partial \rho}+\hat{\boldsymbol{\phi}} \frac{1}{\rho} \frac{\partial u}{\partial \phi}+\hat{\boldsymbol{z}} \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial u}{\partial z}$

   • 散度：$\nabla\cdot \boldsymbol{A} =\frac{1}{\rho} \frac{\partial\left(\rho A_{\rho}\right)}{\partial \rho}+\frac{1}{\rho} \frac{\partial A_{\phi}}{\partial \phi}+\frac{\partial A_{z}}{\partial z}$

   • 旋度：$\nabla\times\boldsymbol{A}=\frac{1}{\rho}\left|\begin{array}{ccc} \hat{\boldsymbol{\rho}} & \rho \hat{\boldsymbol{\phi}} & \hat{\boldsymbol{z}} \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \phi} & \frac{\partial}{\partial z} \\ A_{\rho} & \rho A_{\phi} & A_{z} \end{array}\right|$

   • 拉普拉斯算子：$\nabla^{2} u=\frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho \frac{\partial u}{\partial \rho}\right)+\frac{1}{\rho^{2}} \frac{\partial^{2} u}{\partial \phi^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}$

6. 本构参数

   • 真空中磁导率　 $\mu_0$：$4\pi \times 10^{-7}$ (H/m)

   • 真空中的介电常数$\varepsilon_0$：$\frac{1}{36\pi}\times 10^{-9}=8.854\times 10^{-12}$ (F/m)

7. 光是电磁波（光速）：$c=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}}=3\times 10^8$ (m/s)

静电场

1. 散度定理

$\int_v \nabla\cdot \boldsymbol{A} \mathrm{d}v=\oint_S \boldsymbol{A}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{s}$

2. 斯托克斯定理

$\int_S \nabla \times \boldsymbol{A} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{s}=\oint_C \boldsymbol{A}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l}$

3. 静电学基本公理

   微分形式：

$\nabla \cdot \boldsymbol{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0}$

$\nabla \times \boldsymbol{E}=0$

积分形式：

$\oint_S \boldsymbol{E}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{s}=\frac{Q}{\varepsilon_0}$

$\oint_C \boldsymbol{E}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l}=0$

4. 圆环轴线上的电场强度

$\boldsymbol{E}=\hat{z}\frac{Qz}{4\pi \varepsilon_0(z^2+a^2)^{3/2}}$

5. 无限长线电荷的电场强度

$\boldsymbol{E}=\boldsymbol{a}_r\frac{\rho_l}{2\pi \varepsilon_0r}$

6. 电场强度与电位的关系

$\boldsymbol{E}=-\nabla V$

7. 分布电荷的电位

$V=\frac{q}{4\pi \varepsilon_0R}$

8. 多电荷产生的电位

$V=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\sum_{k=1}^n \frac{q_k}{|\boldsymbol{R}-\boldsymbol{R}'_k|}$

9. 导体表面的边界条件

$E_t=0$

$E_n=\frac{\rho_s}{\varepsilon_0}$

10. 极化电荷密度

    • 束缚电荷面密度：$\rho_{ps}=\boldsymbol{P}\cdot \boldsymbol{a}_n$

    • 束缚电荷体密度：$\rho_p=-\nabla\cdot \boldsymbol{P}$

11. 电通密度（电位移）

$\boldsymbol{D}=\varepsilon_0\boldsymbol{E}+\boldsymbol{P}$

12. 静电场的边界条件

    切向分量

$E_{1t}=E_{2t}$

法向分量

$\boldsymbol{a}_{n2}\cdot(\boldsymbol{D}_1-\boldsymbol{D}_2)=\rho_s$

13. 电容器

$C=\frac{Q}{V}$

14. 同轴线电缆的电容

$C=\frac{Q}{V}=\frac{2\pi \varepsilon L}{ln\left(\frac{b}{a}\right)}$

15. 部分电容

$C_{ii}=\sum_{j=1}^{n}\beta_{ij}$

$C_{ij}=-\beta_{ij},\,i\not=j$

16. 静电场的能量

$W_e=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^N Q_k V_k$

$W_e=\frac{1}{2}\int_{V'}\rho V \mathrm{d}v$

场量表示：

$W_e=\frac{1}{2}\int_{V'}\boldsymbol{D}\cdot\boldsymbol{E}\mathrm{d}v$

17. 能量密度

$w_e=\frac{1}{2}\boldsymbol{D}\cdot\boldsymbol{E}=\frac{1}{2}\varepsilon E^2$

静电场问题的解

1. 泊松方程

$\nabla^2=-\frac{\rho}{\varepsilon}$

$\frac{\partial^2 V}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 V}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 V}{\partial z^2}=\frac{\rho}{\varepsilon} (\mathrm{V/m}^2)$

2. 拉普拉斯方程

$\nabla^2 V=0$

3. 唯一性定理：满足给定边界条件的泊松方程(拉普拉斯方程是特例)的解唯一

4. 镜像法：这种利用合适的镜像电荷代替边界面,代替正规的求解泊松方程和拉普拉斯方程的方法叫做镜像法。

5. 分离变量法

   (1) 边界条件

   (2) 色散条件：$k_x^2+k_y^2+k_z^2=0$

   (3) 方程$X''(x)+k_x^2X(x)=0$的解

稳恒电流与静磁场

1. （体）电流密度

$\boldsymbol{J}=Nq\boldsymbol{v}=\rho \boldsymbol{v}$

2. 总电流

$I=\int_S \boldsymbol{J}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{s}=\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}$

3. 欧姆定律（本构关系2）

   $\boldsymbol{J}=\sigma \boldsymbol{E}$

4. 电阻

   $R=\frac{l}{\sigma S}$

5. 静磁学的两个基本公理

6. 矢量磁位与磁通密度的关系

$\boldsymbol{B}=\nabla\times \boldsymbol{A}$

7. 矢量旋度的旋度公式

$\nabla \times\nabla\times \boldsymbol{A}=\nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{A})-\nabla^2\boldsymbol{A}$

8. 矢量泊松方程

$\nabla^2\boldsymbol{A}=-\mu_0\boldsymbol{J}$

9. 矢量磁位

$\boldsymbol{A}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{V'}\frac{\boldsymbol{J}}{R}\mathrm{d}v'$

10. 磁通量

$\begin{aligned} \varPhi=&\int_S \boldsymbol{B}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{s}\\ \varPhi=&\int_S(\nabla\times \boldsymbol{A})\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{s}=\oint_C \boldsymbol{A}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l} \end{aligned}$

11. 毕奥-萨伐尔定律

$\begin{aligned} \boldsymbol{B}&=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{V'}\frac{\boldsymbol{J}'\times \hat{R}}{R^2}\mathrm{d}v'\\ &=\frac{\mu_0I}{4\pi}\oint_{C'}\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{l}'\times \hat{R}}{R^2}\text{（线电流）}\\ &=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{S}\frac{\boldsymbol{J}'_s\times \hat{R}}{R^2}\mathrm{d}s\text{（面电流）} \end{aligned}$

12. 磁偶极子

$\boldsymbol{A}=\hat{\phi}\frac{\mu_0Ib^2}{4R^2}\sin \theta =\frac{\mu_0\boldsymbol{m}\times\hat{R}}{4\pi R^2}$

13. 磁场强度

$\boldsymbol{H}=\frac{\boldsymbol{B}}{\mu_0}-\boldsymbol{M} =\frac{1}{\mu}{\boldsymbol{B}}$

14. 安培环路定律

$\begin{aligned} \text{积分形式：}&\oint_C \boldsymbol{H}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l}=I\\ \text{微分形式：}&\nabla\times \boldsymbol{H}=\boldsymbol{J} \end{aligned}$

15. 本构关系3

$\boldsymbol{B}=\mu_0(1+\chi_m)\boldsymbol{H}=\mu_0\mu_r\boldsymbol{H}=\mu\boldsymbol{H}$

16. 静磁场的边界条件

$\begin{aligned} \text{$\boldsymbol{B}$法向连续：}&B_{1n}=B_{2n}\\ \text{$\boldsymbol{H}$切向不连续：}&\hat{n}\times(\boldsymbol{H}_1-\boldsymbol{H}_2)=\boldsymbol{J}_s \end{aligned}$

17. 自感

    (1) 对于给定的几何形状选择适当的坐标系。

    (2) 假设导线中的电流为$I$。

    (3) 如果存在对称性，就根据安培环路定理，由$I$求$\boldsymbol{B}$; 如果不存在对称性，就必须用毕奥－萨伐定律求$\boldsymbol{B}$。

    (4) 用积分方法，由$\boldsymbol{B}$求出每一圈所交链的磁通中$\varPhi=\int_S \boldsymbol{B}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{s}$。其中$S$为面积，在该面积上$\boldsymbol{B}$存在且与假设的电流交链。

    (5) 用磁通量$\varPhi$中乘以匝数，得到回路的磁链$\varLambda$。

    (6) 通过求比率$L=\frac{\varLambda}{I}$, 从而求出自感$L$。

18. 静磁场的能量

$W_m=\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{N}\sum_{k=1}^{N}L_{jk}I_jI_k=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{N}I_k\varPhi_k$

场量表示：

$W_m=\frac{1}{2}\int_{V'}\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{J}\mathrm{d}v'=\frac{1}{2}\int_{V'}\boldsymbol{H}\cdot\boldsymbol{B}\mathrm{d}v'$

19. 磁能密度

$w_m=\frac{1}{2}\boldsymbol{H}\cdot \boldsymbol{B}=\frac{B^2}{2\mu}=\frac{1}{2}\mu H^2$

时变电磁场

1. 法拉第电磁感应定律

$\begin{aligned} \text{积分形式：}&\oint_C \boldsymbol{E}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l}=-\int_s \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{s}\\ \text{微分形式：}&\nabla\times\boldsymbol{E}=-\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \end{aligned}$

2. 连续性方程

$\nabla\cdot \boldsymbol{J}=-\frac{\partial \rho}{\partial t}$

3. 麦克斯韦方程

   意义	微分形式	积分形式
   法拉第定律	$\displaystyle\nabla\times \boldsymbol{E}=-\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}$	$\displaystyle\oint_C \boldsymbol{E}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l}=-\frac{\partial \Phi}{\partial t}=-\int_s \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{s}$
   安培环路定律	$\displaystyle\nabla\times \boldsymbol{H}=\boldsymbol{J}+\frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t}$	$\displaystyle\oint_C \boldsymbol{H}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l}=\int_s \left(\boldsymbol{J}+\frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t}\right)\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{s}$
   高斯定理(导出)	$\nabla\cdot \boldsymbol{D}=\rho$	$\displaystyle\oint_s \boldsymbol{D}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{s} =\int_V \rho \mathrm{d}V =Q$
   磁通连续性原理(导出)	$\nabla\cdot \boldsymbol{B}=0$	$\displaystyle\oint_S \boldsymbol{B}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{s}=0$
   电流连续性方程	$\displaystyle\nabla\cdot \boldsymbol{J}=-\frac{\partial \rho}{\partial t}$	$\displaystyle\oint_s \boldsymbol{J}\cdot \boldsymbol{s}=-\int_V\frac{\partial \rho}{\partial t} \mathrm{d}V$
   洛伦兹力方程	$\boldsymbol{F}=q \boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B}$

4. 本构关系

$\begin{aligned} \boldsymbol{D}&=\varepsilon\boldsymbol{E}\\ \boldsymbol{B}&=\mu\boldsymbol{H}\\ \boldsymbol{J}&=\sigma \boldsymbol{E} \end{aligned}$

5. 限定形式的麦克斯韦方程组

$\begin{aligned} &\nabla \times \boldsymbol{E}=-\mu \frac{\partial \boldsymbol{H}}{\partial t} \\ &\nabla \times \boldsymbol{H}=\boldsymbol{J}+\varepsilon \frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t} \\ &\nabla \cdot \boldsymbol{E}=\frac{\rho}{\varepsilon} \\ &\nabla \cdot \boldsymbol{H}=0 \end{aligned}$

6. 电磁边界条件

   切向分量（分界面上$\boldsymbol{E}$的切向分量连续；有面电流时，$\boldsymbol{H}$的切向分量不连续）

$\begin{aligned} \hat{\boldsymbol{n}}\times (\boldsymbol{E}_1-\boldsymbol{E}_2)&=\boldsymbol{0}\\ \hat{\boldsymbol{n}}\times (\boldsymbol{H}_1-\boldsymbol{H}_2)&=\boldsymbol{J}_s \end{aligned}$

法向分量

$\begin{aligned} \hat{\boldsymbol{n}}\cdot (\boldsymbol{D}_1-\boldsymbol{D}_2)&=\rho_s\\ \hat{\boldsymbol{n}}\cdot (\boldsymbol{B}_1-\boldsymbol{B}_2)&=0 \end{aligned}$

7. 坡印廷定理------在任意时刻流入闭合面的总功率，等于由这个闭合面所包围的体积内电场储能和磁场储能的增加率与损耗的欧姆功率之和。

$\begin{aligned} -\oint_{s}(\boldsymbol{E} \times \boldsymbol{H}) \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S} &=\int_{V}\left[\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{1}{2} \boldsymbol{B} \cdot \boldsymbol{H}\right)+\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{1}{2} \boldsymbol{D} \cdot \boldsymbol{E}\right)+\boldsymbol{J} \cdot \boldsymbol{E}\right] \mathrm{d} V \\ &=\frac{\partial}{\partial t} \int_{V}\left(\frac{1}{2} \boldsymbol{B} \cdot \boldsymbol{H}+\frac{1}{2} \boldsymbol{D} \cdot \boldsymbol{E}\right) \mathrm{d} V+\int_{V} \boldsymbol{J} \cdot \boldsymbol{E} \mathrm{d} V \end{aligned}$

一般介质的坡印廷定理

$-\oint_{s}(\boldsymbol{E} \times \boldsymbol{H}) \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S} =\int_V \left(\boldsymbol{H}\cdot\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}+\boldsymbol{E}\cdot\frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t}+\boldsymbol{J} \cdot \boldsymbol{E}\right)\mathrm{d}V$

对于电场和磁场能量不增加的系统，即

$-\oint_s \boldsymbol{S}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{s}=P=I^2R$

8. 坡印廷矢量

$\boldsymbol{S}=\boldsymbol{E}\times \boldsymbol{H}$

9. 场量复数形式$\dot{\boldsymbol{E}}(x,y,z)$与瞬时值$\boldsymbol{E}(x,y,z,t)$的互转

$\boldsymbol{E}(x,y,z,t)=\Re\left[\dot{\boldsymbol{E}}(x,y,z)\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\right]$

10. 时谐麦克斯韦方程组

$\begin{aligned} &\nabla \times \boldsymbol{E}=-\mathrm{j} \omega \mu \boldsymbol{H} \\ &\nabla \times \boldsymbol{H}=\boldsymbol{J}+\mathrm{j} \omega \varepsilon \boldsymbol{E} \\ &\nabla \cdot \boldsymbol{E}=\frac{\rho}{\varepsilon} \\ &\nabla \cdot \boldsymbol{H}=0 \\ &\nabla \cdot \boldsymbol{J}=-\mathrm{j}\omega \rho \end{aligned}$

11. 亥姆霍兹方程（波数$k=\omega\sqrt{\mu\varepsilon}$）

$\nabla^2\boldsymbol{E}+\omega^2\mu\varepsilon\boldsymbol{E}=0$

平面电磁波

1. 无源波动方程

$\begin{aligned} &\nabla^2\boldsymbol{E}-\mu\varepsilon\frac{\partial^2 \boldsymbol{E}}{\partial t^2}=0\\ &\nabla^2\boldsymbol{H}-\mu\varepsilon\frac{\partial^2 \boldsymbol{H}}{\partial t^2}=0 \end{aligned}$

2. 平面电磁波基本概念

   • 波阻抗：$\eta=\sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}}=\frac{\omega\mu}{k}=\eta_0 \sqrt{\frac{\mu_r}{\varepsilon_r}}$（本征阻抗$\eta_0=\sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}}=120\pi$）

   • 相速：$v_p=\frac{\omega}{k}=\frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}}=\lambda f$

   • 波长：$\lambda=\frac{2\pi}{k}$

   • 波数：$k=\omega\sqrt{\mu\varepsilon}=\frac{2\pi}{\lambda}$

   • 频率：$f=\frac{1}{T}=\frac{\omega}{2\pi}$

3. 复坡印廷矢量

$\boldsymbol{S}=\dfrac{1}{2} \boldsymbol{E} \!\times\! \boldsymbol{H}^* =\dfrac{1}{2} \hat{\boldsymbol{x}} E_0 \text{e}^{-jkz} \!\times\! \hat{\boldsymbol{y}} H_0^* \text{e}^{jkz} =\dfrac{1}{2} \hat{\boldsymbol{z}} \dfrac{|{E_0}|^2}{\eta} =\hat{\boldsymbol{z}} \dfrac{E_{0m}^2}{2\eta}$

对于无耗介质，它的实部为一周期内坡印廷矢量的平均值；如果媒质有损耗，复波印廷矢量将会是一个复数矢量，它的实部恰好等于电磁波在一个周期内的平均功率

$\boldsymbol{S}_{av}=\Re\left[\frac{1}{2}\boldsymbol{E}\times \boldsymbol{H}^*\right]$

4. 任意方向传播的均匀电磁波

$\begin{aligned} &\boldsymbol{E}=\boldsymbol{E}_0 \text{e}^{-j \boldsymbol{k}\cdot \boldsymbol{r}}\\ &\boldsymbol{H}=\dfrac{1}{\eta}\hat{\boldsymbol{k}}\!\times\!\boldsymbol{E} \\ &\hat{\boldsymbol{k}}\!\cdot\!\boldsymbol{E}=0\\ &\hat{\boldsymbol{k}}\!\cdot\!\boldsymbol{H}=0 \end{aligned}$

5. 导电介质中平面电磁波的基本概念

   • 复介电常数：$\varepsilon_c=\varepsilon-j\dfrac{\sigma}{\omega}=\varepsilon(1-j\dfrac{\sigma}{\omega\varepsilon})$（损耗角正切：$\dfrac{\sigma}{\omega\varepsilon}$）

   • 衰减常数：$\alpha=\omega \sqrt{\dfrac{\mu\varepsilon}{2}\bigg(\sqrt{1+\Big(\dfrac{\sigma}{\omega\varepsilon}\Big)^2}-1\bigg)}$

   • 相位常数：$\beta= \omega \sqrt{\dfrac{\mu\varepsilon}{2}\bigg(\sqrt{1+\Big(\dfrac{\sigma}{\omega\varepsilon}\Big)^2}+1\bigg)}$

   • 波阻抗：$\eta_c = \sqrt{\dfrac{\mu}{\varepsilon_c}} = \sqrt{\dfrac{\mu}{\varepsilon}}\bigg(1-j\dfrac{\sigma}{\omega\varepsilon}\bigg)^{-1/2} = |{\eta_c}| \text{e}^{j\theta}$

6. 介质及其常数

   介质类型	良电介质	不良导体	良导体
   损耗角正切$\dfrac{\sigma}{\omega\varepsilon}$	$\approx 0$	$\approx 1$	$\gg 1$
   衰减常数$\alpha$	$\dfrac{\sigma}{2} \sqrt{\dfrac{\mu}{\varepsilon}}$	$\alpha=\omega \sqrt{\dfrac{\mu\varepsilon}{2}\bigg(\sqrt{1+\Big(\dfrac{\sigma}{\omega\varepsilon}\Big)^2}-1\bigg)}$	$\sqrt{\dfrac{\omega \mu \sigma}{2}}$
   相位常数$\beta$	$\omega \sqrt{\mu\varepsilon}$	$\beta= \omega \sqrt{\dfrac{\mu\varepsilon}{2}\bigg(\sqrt{1+\Big(\dfrac{\sigma}{\omega\varepsilon}\Big)^2}+1\bigg)}$	$\sqrt{\dfrac{\omega \mu \sigma}{2}}$
   波阻抗$\eta$	$\sqrt{\dfrac{\mu}{\varepsilon}}$	$\eta_c = \sqrt{\dfrac{\mu}{\varepsilon_c}}$	$\sqrt{\dfrac{\omega\mu}{\sigma}} \text{e}^{\text{j}\pi/4}= \sqrt{\dfrac{\omega\mu}{2\sigma}} (1+\text{j})$

7. 集肤深度（振幅衰减到表面处的$\frac{1}{e}$）

   $\delta = \dfrac{1}{\alpha}=\sqrt{\dfrac{2}{\omega\mu\sigma}}$

   由振幅比例计算深度

   $l=\frac{1}{\alpha}\ln\frac{|E_0|}{|E|}$

8. 良导体中的复坡印廷矢量

   $\boldsymbol{S} =\dfrac{1}{2} \boldsymbol{E}\!\times\boldsymbol{H}^{*} = \hat{\boldsymbol{z}} \,\dfrac{1}{2} |{E_0}|^2 \sqrt{\dfrac{\sigma}{\omega\mu}} \,\text{e}^{\text{j}\frac{\pi}{4}} \,\text{e}^{-2\alpha z}$

$z=0$此处的平均电磁功率密度，即导体内的传导电流造成的热损耗的时间平均值

$\boldsymbol{S}_\text{av}|_{z=0} =P= \hat{\boldsymbol{z}} \,\dfrac{1}{2} |{E_0}|^2 \sqrt{\dfrac{\sigma}{2\omega\mu}}$

9. 极化类型

   • 线极化：$\phi_x-\phi_y=k\pi$

   • 圆极化：$E_{xm}=E_{ym}=E_m,\ \phi_x-\phi_y=\pm\frac{\pi}{2}$

   • 椭圆极化：$E_x$和$E_y$及$\phi_x$和$\phi_y$为任意关系

10. 极化旋向（迎着来波方向用X手螺旋）

    • $\phi_x-\phi_y>0$：逆时针-右旋

    • $\phi_x-\phi_y<0$：顺时针-左旋

11. 理想导体垂直入射------驻波

    入射波、反射波、合成波

    $\begin{gathered} \boldsymbol{E}_{i}=\hat{\boldsymbol{x}}E_{io}\mathrm{e}^{-\mathrm{j}kz}\\ \boldsymbol{E}_{r}=-\hat{\boldsymbol{x}}E_{io}\mathrm{e}^{\mathrm{j}kz}\\ \boldsymbol{E}_1=-\hat{\boldsymbol{x}}2\mathrm{j}E_{io}\sin(k_1z) \end{gathered}$

    理想导体垂直入射参数与性质

    $\begin{gathered} E_{io}+E_{ro}=0\\ \Gamma=\frac{E_{ro}}{E_{io}}=-1 \end{gathered}$

12. 理想介质垂直入射------行驻波
    入射波、反射波、透射波、合成波

    $\begin{gathered} \boldsymbol{E}_{i}=\hat{\boldsymbol{x}}E_{io}\mathrm{e}^{-\mathrm{j}k_1z}\\ \boldsymbol{E}_{r}=\hat{\boldsymbol{x}}\Gamma E_{io}\mathrm{e}^{\mathrm{j}k_1z}\\ \boldsymbol{E}_{t}=\hat{\boldsymbol{x}}T E_{io}\mathrm{e}^{-\mathrm{j}k_2z}\\ \boldsymbol{E}_1=\hat{\boldsymbol{x}} E_{io}(T\ \mathrm{e}^{-\mathrm{j}k_z}+\mathrm{j}2\Gamma\sin(k_1z))\\ \end{gathered}$

    理想介质垂直入射参数与性质

    $\begin{gathered} \Gamma=\frac{E_{ro}}{E_{io}}=\frac{\eta_2-\eta_1}{\eta_2+\eta_1}\\ T=\frac{E_{to}}{E_{io}}=\frac{2\eta_2}{\eta_2+\eta_1} \end{gathered}$

    驻波比

    $S=\frac{E_{\max}}{E_{\min}}=\frac{1+|\Gamma|}{1-|\Gamma|}$

    平均功率密度矢量

    $\begin{aligned} &\boldsymbol{S}_{av,i}=\hat{\boldsymbol{z}}\frac{E_{io}^2}{2\eta_1}\\ &\boldsymbol{S}_{av,r}=-|\Gamma|^2\cdot\boldsymbol{S}_{av,i}\\ &\boldsymbol{S}_{av,1}=(1-|\Gamma|^2)\cdot\boldsymbol{S}_{av,i}\\ &\boldsymbol{S}_{av,t}=\frac{\eta_1}{\eta_2}\cdot|T|^2\boldsymbol{S}_{av,i} \end{aligned}$

13. 平面电磁波的斜入射（暂略）