Wireless Communications (Andrea Goldsmith)学习笔记。

Capacity of Wireless Channels

在第二、三章中，主要介绍无线信道传输过程中发射信号到接收信号之间的损耗——路径损耗、阴影和多径模型。第四章讨论另外无线信道的一个重要参数——信道容量（Capacity）。

香农编码定理（Shannon’s coding theorem）：a code did exist that could achieve a data rate close to capacity with negligible probability of error, and that any data rate higher than capacity could not be achieved without an error probability bounded away from zero. 一定存在一种编码，可以在误码率可忽略不计的情况下实现接近信道容量的传输速率，而任何高于信道容量的传输速率都不可能在误码率接近于零的情况下实现。
本章主要讨论单用户无线信道（single-user wireless channel），即收发天线都只有一根。
当收发都已知CSI时，最佳功率分配方式是water-filling法。
本章循序渐进从三种大类来讨论无线信道的容量，先是最简单的AWGN信道，进而讨论窄带的平衰落信道，最后讨论宽带的频率选择性衰落信道。

Capacity in AWGN

AWGN（加性高斯白噪声）有扰信道的容量：

$C=B\log_2(1+\gamma)\quad bps$
- 证明方法：信道容量是mutual information（互信息量）的最大值
  $C=\max _{p(x)} I(X ; Y)=\max _{p(x)} \sum_{x, y} p(x, y) \log \left(\frac{p(x, y)}{p(x) p(y)}\right)$
Shannon capacity is generally used as an upper bound on the data rates that can be achieved under real system constraints. 香农容量一般被作为实际信道传输速率的上限。

Capacity of Flat-Fading Channels

对于平衰落信道结构大致如下图，在信道中：

时变增益为 $\sqrt{g[i]}$ 。下面我们假设 $g[i]$ 与信道输入无关。 $g[i]$ 也被称为CSI，在码字传输过程中是时变的。分析 $g[i]$ 有两种途径——分布和瞬时值。
噪声为 $n[i]$ （加性高斯白噪声）。
$\bar P$ 是平均发射功率，瞬时接收信噪比为 $\gamma[i]=\frac{\bar P g[i]}{N_0B}$ 。

信道容量取决于发射机和接收机对CSI的了解情况：

CDI(Channel Distribution Information)：发射机、接收机仅知道 $g[i]$ 的分布。
Receiver CSI:发射机、接收机知道 $g[i]$ 的分布，且接收机知道CSI瞬时值。
Transmitter and Receiver CSI:发射机、接收机知道 $g[i]$ 的分布和瞬时值。

CDI（仅知道信道分布）

对于几乎所有的信道分布，寻找CDI下的容量达到的输入分布和相应的衰减信道的容量仍然是一个未解之谜。
一般仅有两种情况在CDI情况下可求解：
- i.i.d. Rayleigh fading channels(独立同分布的瑞利衰减信道)
- FSMC（有限状态马尔可夫信道）
i.i.d. Rayleigh fading channels无闭式解，只能求解数值解。
FSMC：the receiver must decode all past channel outputs jointly with the current output for optimal (i.e. capacity-achieving) decoding.

Receiver CSI

Shannon capacity (ergodic capacity, capacity with outage)香农容量给出的是一个恒定的速率。

$C=\int_0^{\infty} B\log_2(1+\gamma)p(\gamma)\ \mathrm{d}\gamma$
- 这个式子就是对信噪比为 $\gamma$ 的AWGN信道按信噪比分布加权作平均。
- 香农容量下，信道传输速率是恒定值。
- 香农容量下，编码必须足够长，以便收到的码字变量所有可能的衰落状态的影响。（这也是为什么被称为遍历信道）这可能会导致显著的延迟。
- 由Jensen不等式有
  
  $E[B\log_2(1+\gamma)]\le B\log_2(1+\bar\gamma)$
  
  即Receiver CSI情况下香农容量比AWGN信道容量小。
Capacity with Outage（带中断容量）带中断容量允许在给定突发时间端，以一定的概率译错所传输的bits。

$C_{out}=(1-p_{out})B\log_2(1+\gamma_{\min})$
- $p_{out}$ 是中断概率， $\gamma_{\min}$ 是接收机允许的最小正确接收信噪比。
- 当中断概率很小时，信道容量趋于0.
- 当中断概率提高后，信道容量提升，带来的问题是高中断率高速率意味着高错误接收率。
- 通过 $\gamma_{\min}$ 和 $p_{out}$ 的优化，可以最大化平均正确接收率，从而提升带中断容量的质量。

Transmitter and Receiver CSI

当接收机和发射机都知道CSI时，可以通过CSI实时调整发送策略，比较好的功率控制方式为——water-filling法（注水法）。

收发均知CSI的模型
最佳功率控制、速率自适应下的香农容量——最佳，注水法难
- 发射机不功率控制，CSIT不能增加信道容量。
- 考虑时变信道，信道状态有无限种可能，允许发射功率 $P(\gamma)$ 随信道状态变化并受限于平均功率，定义fading channel capacity with average power constraint（受限于平均功率的衰落信道容量）
  
  $C=\max _{P(\gamma): \int P(\gamma) p(\gamma) d \gamma=\bar{P}} \int_{0}^{\infty} B \log _{2}\left(1+\boldsymbol{\frac{P(\gamma) \gamma}{\bar{P}}}\right) p(\gamma) d \gamma$
  - 上式可通过多路输入多路输出的time-diversity来实现。将时变信道分解为一组并行的时不变信道，每个时不变信道仅在 $\gamma[i]=\gamma_j$ 时工作。
- 利用Lagrange乘数法求解最优功率控制方案为：
  
  $\frac{P(\gamma)}{\bar{P}}=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\gamma_{0}}-\frac{1}{\gamma} & \gamma \geq \gamma_{0} \\ 0 & \gamma<\gamma_{0}\end{array}\right.$
  
  其中， $\gamma_0$ 时截断值，只在信噪比大于截断值时使用信道。此时信道容量为
  
  $C=\int_{\gamma_0}^\infty B\log_2\left(\frac{\gamma}{\gamma_0}\right)p(\gamma)\mathrm{d}\gamma$
- 信道容量的实现——注水法（water-filling）：
  
  原理：利用良好的信道条件。当信道条件良好（ $\gamma$ 大）时，多分配功率，用更高的传输速率。当信道质量下降时（ $\gamma$ 小），减小发射发射传输速率。如果信道瞬时SNR低于截断值，就不使用该信道。
- 截断值 $\gamma_0$ 的取值：同时我们认为最佳功率分配时，动态调整的功率的平均功率达到最大即原来的平均发射功率 $\bar P$ ，则必然满足
  
  $\int_{\gamma_0}^{\infty}\left(\frac{1}{\gamma_0}-\frac{1}{\gamma}\right)p(\gamma)\mathrm{d}\gamma=1$
Zero-Outage Capacity（零中断容量）——次佳但简单
零中断功率利用CSIT，实现接收功率恒定，即将信道衰落折算进发射机中（信道衰落进行反转）。
- 发射功率自适应方案——信道反转（Channel Inversion）
- 设 $\sigma$ 是恒定的接收信噪比，则 $\sigma=\frac{1}{E[\frac{1}{\gamma}]}$ ，此时的信道容量(零中断容量)为
  
  $C=B\log_2[1+\sigma]=B\log_2\left[1+\frac{1}{E[\frac 1\gamma]}\right]$
- 在所有信道条件下传输速率均恒定，不需要考虑中断。
- 在衰落严重环境下，零中断容量接近于0.
- Channel inversion is common in spread spectrum systems with near-far interference imbalances
Outage Capacity（中断容量）——次佳但简单
为避免在衰落严重条件下，信道容量趋于0，设在特别差的信道上停止发射数据，即可提高传输速率进而提高信道容量。
- 发射功率自适应方案——截断式信道反转（Truncated Channel Inversion）
  
  $\frac{P(\gamma)}{\bar{P}}=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\sigma}{\gamma} & \gamma \geq \gamma_{0} \\ 0 & \gamma<\gamma_{0}\end{array}\right.$
- 设 $\sigma$ 是非中断时恒定的接收信噪比，则 $\sigma=\frac{1}{E_{\gamma_0}[\frac{1}{\gamma}]}=\frac{1}{\int_{\gamma_0}^{\infty}\frac{1}{\gamma}p(\gamma)d\gamma}$ ，此时的信道容量（中断容量）为
  
  $C(p_{out})=B\log_2\left(1+\frac{1}{E_{\gamma_0}\left[\frac 1 \gamma\right]}\right)p(\gamma\ge \gamma_0)$
- 最大中断容量：
  
  $C=\max_{\gamma_0}B\log_2\left(1+\frac{1}{E_{\gamma_0}\left[\frac 1 \gamma\right]}\right)p(\gamma\ge \gamma_0)$
Capacity with Receiver Diversity（接收分集）
利用多天线可以减小衰落带来的波动，接收天线数量越多，信道接近AWGN信道，各种容量趋于相近。

信道容量的比较

comparasion

AWGN信道容量比其余任何衰落情况信道容量都大。
- 信噪比低时与Transmitter and Receiver CSI接近。
- AWGN信道总是总是较低SNR，限制了信道容量。
当传输速率相对于信道进行调整时，调整功率的调整对容量的增加忽略不计。
相对于只使用CSIR，CSIT自适应带来的容量增加可以忽略不计。
信道容量和实现复杂度的trade-off

Capacity of Frequency-Selective Fading Channels

频率选择性衰落信道可以看作是平衰落信道的延伸。

时不变信道

在时不变情况下，频率选择性衰落信道的频域可以看作分段平衰落信道。
Block Frequency-Selective Fading

考虑信号（功率谱 $P_j$ ）通过时不变系统后功率谱变为 $|H_j|^2P_j$ ，信噪比为 $\frac{|H_j|^2P_j}{BN_0}$
受限于平均功率的衰落信道容量

$C=\sum_{\max P_{j}: \sum_{j} P_{j} \leq P} B \log _{2}\left(1+\frac{\left|H_{j}\right|^{2} P_{j}}{N_{0} B}\right)$
最佳功率分配下的信道容量：

$C=\sum_{j:\gamma_j>\gamma_0}B\log_2\left(\frac{\gamma_j}{\gamma_0}\right)$

利用频域注水法功率控制，在不同子信道上分配不同功率并且以不同传输速率传输达到。
当 $H(f)$ 连续，则求和变积分。

时变信道

频率选择性衰落时变信道的处理方式主要是将频率变化、时间变化分块变成仅时间变化。即假设个子信道变成独立的时变平衰落信道，对 $H(f,i)=H_f[i]$ 。
收发CSI的香农容量是其它非AWGN信道容量的上限，利用二维注水法，求解香农容量。
- 收发CSI，时域（ $\gamma_j[i]=\gamma_j$ ）、频域（子信道）均最佳功率控制
  
  $C=\max _{P_{j}\left(\gamma_{j}\right): \sum_{j} \int_{0}^{\infty} P_{j}\left(\gamma_{j}\right) p\left(\gamma_{j}\right) d \gamma_{j} \leq \bar{P}} \sum_{j} \int_{0}^{\infty} B_{c} \log _{2}\left(1+\frac{P_{j}\left(\gamma_{j}\right) \gamma_{j}}{\bar{P}}\right) p\left(\gamma_{j}\right) d \gamma_{j}$
- 二维注水法截断值 $\gamma_0$ 对于所有子信道都是一致的，信道容量为
  
  $C=\sum_{j} \int_{\gamma_{0}}^{\infty} B_{c} \log _{2}\left(\frac{\gamma_{j}}{\gamma_{0}}\right) p\left(\gamma_{j}\right) d \gamma_{j}$

参考文献

ANDREA GOLDSMITH.WIRELESS COMMUNICATIONS.2005.
（美）Andrea Goldsmith著；杨鸿文，李卫东，郭文彬等译. 无线通信. 北京：人民邮电出版社, 2007.06.