信号与系统3种变换性质整理

1. 以下是信号与系统3种重要变换的公式整理，如有错误欢迎在评论区指出。
2. 电子版见👉笔记整理部分信号与系统部分03 傅里叶变换、04 Laplace变换、05 z变换， 后续增减添补仅在电子PDF版中作修改，此处不再做改动。

Fourier变换

傅里叶变换的表示

$\begin{aligned} f(t)&\longleftrightarrow F(j\omega)\\ F(j\omega)&=\mathscr{F}[f(t)]=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\mathrm{e}^{-j\omega t}\mathrm{d}t\\ f(t)&=\mathscr{F}^{-1}[F(j\omega)]=\frac{1}{2\pi}=\int_{-\infty}^{\infty}F(j\omega)\mathrm{e}^{j\omega t}\mathrm{d}\omega \end{aligned}$

7种常用函数的傅里叶变换

$\begin{aligned} g_\tau (t) &\longleftrightarrow\tau Sa(\frac{\omega \tau}{2})\\ \mathrm{e}^{-\alpha t}\varepsilon(t) &\longleftrightarrow\frac{1}{\alpha+j\omega}\\ \mathrm{e}^{-\alpha|t|}&\longleftrightarrow\frac{2\alpha}{\alpha^2+\omega^2}\\ \delta^{(n)}(t) &\longleftrightarrow(j\omega)^n\\ 1&\longleftrightarrow 2\pi\delta(\omega)\\ \mathrm{sgn}(t)&\longleftrightarrow\frac{2}{j\omega}\\ \varepsilon(t)&\longleftrightarrow\frac{1}{j\omega}+\pi \delta(\omega) \end{aligned}$

傅里叶变换的性质

1. 线性性质

2. 奇偶虚实性

   $|F(j\omega)|=|F(-j\omega)|,\varphi(\omega)=-\varphi(-\omega)$

   当$f(t)$为実(虚)函数，

   $F(j\omega)$ 的实部 $R(\omega)$为偶(奇)函数

   虚部$X(\omega)$为奇(偶)函数

   $\begin{aligned} f(-t)&\longleftrightarrow F^*(j\omega)\\ (f(-t)&\longleftrightarrow-F^*(j\omega)) \end{aligned}$

3. 对称性

   $F(jt)\longleftrightarrow 2\pi f(-\omega)$

4. 尺度变换

   $f(at)=\frac{1}{|a|} F\left(j\frac{\omega}{a}\right)$

5. 时移特性

   $f(t\pm t_0)\longleftrightarrow F(j\omega)\mathrm{e}^{\pm j\omega t_0}$

6. 频移特性

   $F[j(\omega\pm \omega_0)]\longleftrightarrow f(t)\mathrm{e}^{\mp j\omega_0 t}$

7. 卷积性质

   $\begin{aligned} f_1(t)*f_2(t) &\longleftrightarrow F_1(j\omega)F_2(j\omega)\\ f_1(t) f_2(t) &\longleftrightarrow\frac{1}{2\pi}F_1(j\omega)*F_2(j\omega) \end{aligned}$

8. 时域微积分

   $\begin{aligned} f^{(n)}(t)&\longleftrightarrow(j\omega)^n F(j\omega)\\ \int_{-\infty}^t f(x)\mathrm{d}x &\longleftrightarrow\pi F(0)\delta(\omega) +\frac{F(j\omega)}{j\omega}\\ F(0)=&\left.F(j\omega)\right|_{\omega=0}=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\mathrm{d} t \end{aligned}$

9. 频域微积分

   $\begin{aligned} F^{(n)}(j\omega)&\longleftrightarrow(-jt)^n f(t)\\ \int_{-\infty}^\omega F(jx)\mathrm{d}x &\longleftrightarrow\pi f(0)\delta(t) +\frac{f(t)}{-jt}\\ f(0)=&\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(j\omega)\mathrm{d}\omega \end{aligned}$

10. 相关定理

    $\begin{aligned} \mathscr{F}[R_{12}(\tau)]&=F_1(j\omega)F_2^*(j\omega)\\ \mathscr{F}[R_{21}(\tau)]&=F_1^*(j\omega)F_2(j\omega)\\ \mathscr{F}[R(\tau)]&=\left|F(j\omega)\right|^2 \end{aligned}$

Laplace变换

单边拉普拉斯变换

$\begin{aligned} f(t)&\longleftrightarrow F(s)\\ F(s)&=\mathcal{L}[f(t)]=\int_{0_-}^{\infty}f(t)\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}t\quad(\Re[s]>\alpha)\\ f(t)&=\left[\frac{1}{2\pi j}\int_{\sigma-j\infty}^{\sigma+j\infty}F(s)\mathrm{e}^{st}\mathrm{d}s\right]\varepsilon(t) \end{aligned}$

常用函数的拉普拉斯变换

$\begin{aligned} \delta^{(n)}(t)&\longleftrightarrow s^n (\sigma>-\infty)\\ \varepsilon(t) \text{或}1&\longleftrightarrow\frac{1}{s}(\sigma>0)\\ \mathrm{e}^{-s_0t}&\longleftrightarrow\frac{1}{s+s_0}(\sigma>-\Re[s_0])\\ t&\longleftrightarrow\frac{1}{s^2}\\ \cos (\beta t)&\longleftrightarrow\frac{s}{s^2+\beta^2}\\ \sin (\beta t)&\longleftrightarrow\frac{\beta}{s^2+\beta^2}\\ f_T(t)&\longleftrightarrow\frac{1}{1-\mathrm{e}^{-sT}}\int_0^Tf_T(t)\mathrm{e}^{-sT}\mathrm{d}t\\ \delta_T(t)&\longleftrightarrow\frac{1}{1-\mathrm{e}^{-sT}} \end{aligned}$

拉普拉斯变换的性质

1. 线性性质

2. 尺度变换(实数$a>0$)

   $f(at)\longleftrightarrow\frac{1}{a}F\left(\frac{s}{a}\right)(\Re[s]>a\sigma_0)$

3. 时移特性(実常数$t_0>0$)

   $\begin{gathered} f(t-t_0)\varepsilon(t-t_0)\longleftrightarrow\mathrm{e}^{-st_0}F(s)\\(\Re[s]>\sigma_0) \end{gathered}$

4. 复频移特性

   $f(t)\mathrm{e}^{s_at}\longleftrightarrow F(s-s_a)(\Re[s]>\sigma_0+\sigma_a)$

5. 卷积定理($s$域卷积定理不考)：

   对于因果信号$f_1(t),\ f_2(t)$ ，$f_1(t)*f_2(t)\longleftrightarrow F_1(s)F_2(s)$

6. 时域微积分

   $\begin{aligned} f^{(n)}(t)&\longleftrightarrow s^nF(s)-\sum_{m=0}^{n-1}s^{n-1-m}f^{(m)}(0_-)\\ f^{({-n})}(t) &\longleftrightarrow\frac{F(s)}{s^n}+\sum_{r=1}^{n}\frac{1}{s^{n-r+1}}f^{(-r)}(0_-) \end{aligned}$

   若为因果信号，则有

   $\begin{aligned} f^{(n)}(t)&\longleftrightarrow s^nF(s)\\ \left(\int_{0_-}^{t}\right)^nf(x)\mathrm{d}x&\longleftrightarrow\frac{1}{s^n}F(s) \end{aligned}$

7. 复频域($s$域)微积分

   $\begin{aligned} (-t)^nf(t)&\longleftrightarrow\frac{\mathrm{d}^n F(s)}{\mathrm{d}s^n}\\ \frac{f(t)}{t}&\longleftrightarrow\int_s^{\infty}F(\eta)\mathrm{d}\eta \end{aligned}$

8. 初值定理、终值定理

   初值定理(不含$\delta(t)$及其各阶导数)

   $f(0_+)=\lim_{t\to 0_+}f(t)=\lim_{s\to\infty}sF(s)$

   终值定理(包含虚轴，即$j\omega$轴)

   $f(\infty)=\lim_{s\to 0}sF(s)$

拉普拉斯逆变换

部分分式展开$\displaystyle F(s)=\frac{B(s)}{A(s)}$

(1)求极点($A(s)=0$)

(2)将$F(s)$展开为部分分式

1. 单根

   $\begin{gathered} F(s)=\sum_{i=1}^{n}\frac{K_i}{s-p_i},\qquad K_i=\left.(s-p_i)F(s)\right|_{s=p_i}\\ \mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{s-p_i}\right]=\mathrm{e}^{p_it}\varepsilon(t) \end{gathered}$

2. 含共轭复根($p_{1,2}=-\alpha\pm j\beta$)

   $\begin{gathered} F_0(s)=\frac{K_1}{s+\alpha-j\beta}+\frac{K_2}{s+\alpha+j\beta}\quad (K_2=K_1^*,\ K_1=|K_1|\mathrm{e}^{j\theta}=A+jB)\\ f_0=2|K_1|\mathrm{e}^{-\alpha t}\cos(\beta t+\theta)\varepsilon(t)=2\mathrm{e}^{-\alpha t}[A\cos(\beta t)-B\sin{\beta t}]\varepsilon({t}) \end{gathered}$

3. 重根($s=p_1$)

   $\begin{gathered}F_1(s)=\sum_{i=1}^{r}\frac{K_{1i}}{(s-p_1)^{r-i+1}},\qquad K_{1i}=\left.\frac{1}{(i-1)!}\frac{\mathrm{d}^{i-1}}{\mathrm{d}s^{i-1}}\left(s-p_1\right)^i F_1(s)\right|_{s=p_i}\\ \mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{(s-p_1)^{n+1}}\right]=\frac{1}{n!}t^n\mathrm{e}^{p_1t}\varepsilon(t) \end{gathered}$

(3)求原函数$F(s)\longleftrightarrow f(t)$

留数法（反演积分）

$f(t)=\sum_{k=1}^{n}\mathrm{Res}[F(s)\mathrm{e}^{st},s_k]$

求解留数的其中3条规则：

1. 1级极点

   $\mathrm{Res}[f(z),z_0]=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)$

2. $m$级极点

   $\mathrm{Res}[f(z),z_0]=\frac{1}{(m-1)!}\lim_{z\to z_0}\frac{\mathrm{d}^{m-1}}{\mathrm{d}z^{m-1}}[(z-z_0)^mf(z)]$

3. $f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}$，$P(z),\ Q(z)$均在$z=z_0$处解析，$P(z_0)\not= 0$，$Q(z_0)=0$，$Q'(z_0)\not= 0$，$z_0$为1级极点，$z_0$为$Q(z)$的1级零点。

$\boldsymbol{z}$变换

$z$变换

双边$z$变换：$F(z)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}f(k)z^{-k}$

单边$z$变换：$F(z)=\sum_{k=0}^{\infty}f(k)z^{-k}$

$f(k)$因果，单边、双边$z$变换相等

常用函数的$\boldsymbol{z}$变换

$\begin{aligned} \delta(k)&\longleftrightarrow 1\text{(整个$z$平面)}\\ \varepsilon(k)&\longleftrightarrow\frac{z}{z-1}(|z|>1)\\ -\varepsilon(-k-1)&\longleftrightarrow\frac{z}{z-1}(|z|<1) \end{aligned}$

$\boldsymbol{z}$变换的性质

1. 线性性质(收敛域至少为相交部分)

2. 尺度变换(序列乘$a^k$)

   $a^kf(k)\longleftrightarrow F\left(\frac{z}{a}\right)(|a|\alpha<|z|<|a|\beta)$

3. 移位（移序）特性

   双边$z$变换($m>0$)

   $f(k\pm m)\longleftrightarrow z^{\pm m}F(z)$

   单边$z$变换($m>0$)

   $\begin{aligned} &f(k-m)\longleftrightarrow z^{-m}\left[F(z)+\sum_{k=-m}^{-1}f(k)z^{-k}\right]\\ &f(k+m)\longleftrightarrow z^{m}\left[F(z)-\sum_{k=0}^{m-1}f(k)z^{-k}\right]\\ \end{aligned}$

4. 卷积定理(收敛域一般为相交部分)

   单边$z$要求因果序列$f_1(t),f_2(t)$

   $f_1(t)*f_2(t)\longleftrightarrow F_1(z)F_2(z)$

5. $z$域微积分
   微分(序列乘$k$)

   $\begin{aligned} kf(k)&\longleftrightarrow(-z)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}F(z)\\ k^mf(k)&\longleftrightarrow\left[-z\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\right]^mF(z) \end{aligned}$

   积分(序列除$(k+m)$)

   $\begin{aligned} &\exists m\in \mathbb{Z},k+m>0\\ &\frac{f(k)}{k+m}\longleftrightarrow z^m\int_z^\infty \frac{F(\eta)}{\eta^{m+1}}\mathrm{d}\eta \end{aligned}$

6. $k$域反转(仅适用于双边$z$变换)

   $f(-k)\longleftrightarrow F(z^{-1})\ (\frac{1}{\beta}<|z|<\frac{1}{\alpha})$

7. 部分和

   $\begin{gathered} \sum_{i=-\infty}^kf(i)\longleftrightarrow\frac{z}{z-1}F(z) (\max(\alpha,1)<|z|<\beta) \end{gathered}$

8. 初值定理、终值定理(右边序列)

   初值定理

   $f(M)=\lim_{z\to \infty}z^MF(z)$

   若因果，$f(0)=\mathop {\lim }\limits_{z\to \infty}F(z)$

   终值定理(包含单位圆$0<\alpha<1$)

   $\begin{aligned} f(\infty ) &= \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } f(k)\\ &= \mathop {\lim }\limits_{z \to 1} \frac{z - 1}{z}F(z) = \mathop {\lim }\limits_{z \to 1} (z - 1)F(z) \end{aligned}$

逆$\boldsymbol{z}$变换

幂级数展开法

因果序列和反因果序列的象函数分别是$z^{-1}$和$z$的幂级数。其系数就是相应序列值。

• 因果序列：圆外展开(负幂项)

• 反因果序列：圆内展开(正幂项)

• 双边序列：环域展开

• 唯一性定理转化为等比级数$C_n=\displaystyle\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}$

原序列通常难以写成闭合形式。

部分分式展开$\displaystyle F(z)=\frac{B(z)}{A(z)}$

Case 1 单根

$\begin{gathered} \frac{F(z)}{z}=\sum_{i=0}^{n}\frac{K_i}{z-z_i},\\ K_i=\left.(z-z_i)\frac{F(z)}{z}\right|_{z=z_i},\\ F(z)=K_0+\sum_{i=1}^nK_i\frac{z}{z-z_i}\\ \end{gathered}$

区分圆内圆外展开:

$\begin{aligned} \delta(k)&\longleftrightarrow 1\\ a^k\varepsilon(k)&\longleftrightarrow\frac{z}{z-a}(|z|>|a|)\\ -a^k\varepsilon(-k-1)&\longleftrightarrow\frac{z}{z-a}(|z|<|a|) \end{aligned}$

Case 2 共轭单极点($z_{1,2}=c\pm jd=\alpha \mathrm{e}^{\pm j\beta}$)

$\begin{gathered} \frac{F(z)}{z}=\frac{K_1}{z-c-jd}+\frac{K^*_1}{z-c+jd}\\ (K_1=|K_1|\mathrm{e}^{j\theta})\\ \frac{F(z)}{z}=\frac{|K_1|\mathrm{e}^{j\theta}z}{z-\alpha \mathrm{e}^{j\beta}}+\frac{|K_1|\mathrm{e}^{-j\theta}z}{z-\alpha \mathrm{e}^{-j\beta}}\end{gathered}$

$\begin{aligned} &f(k)=2|K_1|\alpha^k\cos(\beta k+\theta)\varepsilon(k)&(|z|>\alpha)\\ &f(k)=-2|K_1|\alpha^k\cos(\beta k+\theta)\varepsilon(-k-1)&(|z|<\alpha) \end{aligned}$

Case 3 重根($z=a$)

$\begin{gathered} F_1(z)=\sum_{i=1}^{r}\frac{K_{1i}z}{(z-a)^{r-i+1}},\\ K_{1i}=\left.\frac{1}{(i-1)!}\frac{\mathrm{d}^{i-1}}{\mathrm{d}z^{i-1}}\left(z-a\right)^r \frac{F(z)}{z}\right|_{z=a}\\ \mathcal{Z}^{-1}\left[\frac{z}{(z-a)^{r}}\right]=\frac{\mathbf{A}_k^{r-1}}{(r-1)!}a^{k-r+1}\varepsilon(k) \end{gathered}$

留数法（反演积分）

$f(k)=\begin{cases} \displaystyle\sum_{\text{C内极点}}\mathrm{Res}\left[F(z)z^{k-1}\right],&k\ge 0\\ \displaystyle -\sum_{\text{C外极点}}\mathrm{Res}\left[F(z)z^{k-1}\right],&k< 0 \end{cases}$

求解$F(z)z^{k-1}$在极点处留数的2条规则：

1. 1级极点

   $\mathrm{Res}[F(z)z^{k-1},z_i]=\lim_{z\to z_i}(z-z_0)F(z)z^{k-1}$

2. $r$级极点

   $\begin{aligned} \mathrm{Res}[F(z)z^{k-1},z_i]=\frac{1}{(m-1)!}\lim_{z\to z_0}\frac{\mathrm{d}^{r-1}}{\mathrm{d}z^{r-1}}[(z-z_i)^rF(z)z^{k-1}] \end{aligned}$